Question

某產(chǎn)品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q（q∈N^*））的函數(shù)關系式為C=100+4q，銷售單價P與產(chǎn)量q的函數(shù)關系式為p=25-

1

8

q．
（1）產(chǎn)量q為何值時，利潤最大？
（2）產(chǎn)量q為何值時，每件產(chǎn)品的平均利潤最大？

Answer 1

（1）銷售收入R=q×p=25q-

1

8

q2，
利潤L=R-C=-

1

8

q2+21q-100（0＜q＜200），
L=-

1

8

(q-84)2+782，
所以產(chǎn)量q=84時，利潤L最大；
（2）每件產(chǎn)品的平均利潤f（q）=

L

q

=21-(

1

8

q+

100

q

)，
f′（q）=-

1

8

+

100

q2

，
解f′（q）=0得q=20

2

，
0＜q＜20

2

時，f′（q）＞0，f（q）單調遞增；
20

2

＜q＜200時，f′（q）＜0，f（q）單調遞減，
因為28＜20

2

＜29，且f（28）＞f（29），
所以產(chǎn)量q=28時，每件產(chǎn)品的平均利潤L最大．
答：產(chǎn)量q=28時，每件產(chǎn)品的平均利潤最大．