Question

函數(shù)y=f（x）是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的x、y∈R，都滿足f（x）•f（y）=f（x+y），則下列四個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是
（1）f（0）=0；　　 （2）對(duì)任意x∈R，都有f（x）＞0；　　 （3）f（0）=1；
（4）若x＜0時(shí)，有f（x）＞f（0），則f（x）在R上的單調(diào)遞減．

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   0個(gè)

Answer 1

C
分析：首先令x=y=0，代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可求出f（0）的數(shù)值，利用x=+代入f（x）•f（y）=f（x+y），可得（2）正確．再設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]，
進(jìn)而結(jié)合題意判斷其符號(hào)，即可得到答案．
解答：令x=y=0代入f（x）•f（y）=f（x+y），
所以f（0）•f（0）=f（0），
解得：f（0）=0或者f（0）=1．
令x=0代入f（x）•f（y）=f（x+y），可得代入f（0）•f（y）=f（y），
因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，
所以f（0）=1．
所以（3）正確．
因?yàn)閷?duì)于任意x∈R，都有，并且 ，
所以f（x）＞0．
所以（2）正確．
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]，
因?yàn)閤₁-x₂＜0，
所以f（x₁-x₂）＞f（0）=1，
所以f（x₁-x₂）-1＞0．
又因?yàn)閒（x₂）＞0，
所以f（x₂）f[（x₁-x₂）-1]＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）在R上是減函數(shù)．
所以（4）正確．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，解決抽象函數(shù)的方法一般是利用賦值法求值、判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷函數(shù)的奇偶性，此題考查形式的靈活變形運(yùn)算的能力．