已知函數(shù)F(x)=
1
3
ax3+bx2+cx(a≠0)，F(xiàn)'（-1）=0．
（1）若F（x）在x=1處取得極小值-2，求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令f（x）=F'（x），若f′（x）＞0的解集為A，且滿足A∪（0，1）=（0，+∞），求
c
a
的取值范圍．
分析：（1）由已知中函數(shù)F(x)=
1
3
ax3+bx2+cx(a≠0)，F(xiàn)'（-1）=0，且F（x）在x=1處取得極小值-2，我們易構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，解方程組，求出a，b，c的值，即可得到導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求出函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由f（x）=F'（x），我們易求出f'（x）的解析式，若f'（x）＞0的解集為A，且滿足A∪（0，1）=（0，+∞），則0≤
-a-c
2a
＜1，解不等式即可得到
c
a
的取值范圍．
解答：解：（1）因F'（x）=ax2+2bx+c由題意得：
F′(-1)=0
F′(1)=0
F(1)=-2
即
a-2b+c=0
a+2b+c=0
1
3
a+b+c=-2
解得
a=3
b=0
c=-3

所以F'（x）=3x2-3，
由F'（x）＞0得x＜-1或x＞1，故增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）
由F'（x）＜0，得-1＜x＜1，故減區(qū)間為（-1，1）（-1、1）
（2）由f（x）=F'（x），
得f'（x）=2ax+a+c，
由f'（x）＞0，
得2ax+a+c＞0
又A∪（0，1）=（0，+∞），
故a＞0且0≤
-a-c
2a
＜1，
得-3＜
c
a
≤-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)研究函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是解答此類問題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個(gè)函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時(shí)滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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