Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的圖象與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π，
（Ⅰ）求f（x）的解析式及和最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）對(duì)稱軸方程和單調(diào)遞增區(qū)間
（Ⅲ）求f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)輔角公式整理出三角函數(shù)的解析式，根據(jù)y=f（x）的圖象與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π，函數(shù)的周期是π，得到ω，寫(xiě)出解析式．
（II）根據(jù)正弦曲線的對(duì)稱軸，寫(xiě)出函數(shù)的對(duì)稱軸的形式，寫(xiě)出對(duì)稱軸，根據(jù)正弦曲線的增區(qū)間，寫(xiě)出函數(shù)的增區(qū)間．
（III）根據(jù)所給的函數(shù)的自變量，依次做出函數(shù)對(duì)應(yīng)的角的范圍，根據(jù)正弦曲線做出函數(shù)的值域．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=

3

sinωx+cosωx=2sin（ωx+

π

6

），
∵y=f（x）的圖象與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π，
∴函數(shù)的周期是π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
（II）∵正弦曲線的對(duì)稱軸是x=kπ+

π

2

，k∈z
∴2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，
∴函數(shù)的對(duì)稱軸是x=

kπ

2

+

π

2

，k∈z，
∵2x+

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

] ，k∈z
∴x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]  ，k∈z
（III）∵x∈[-

π

6

，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]，
∴2sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

2

]上的最大值是1，最小值是-

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的解析式和有關(guān)性質(zhì)，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目是高考卷中每一年都要出現(xiàn)的一種題目，注意題目的開(kāi)始解析式不要出錯(cuò)．