Question

正六棱錐的高為3，底面最長的對(duì)角線為4

3

，則其外接球的體積是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)條件求出正六棱錐的底面邊長，根據(jù)條件建立方程求出外接球的半徑，即可求球的體積．

解答：解：∵正六棱錐的高為3，底面最長的對(duì)角線為4

3

，
∴PA=3，AB=2

3

，
根據(jù)正六棱錐的對(duì)稱性可知球心O在高PA上，
設(shè)半徑為R，
則OA=PA-R=3-R，
∴在直角三角形OAB中，
OB²=OA²+AB²，
即R2=(3-R)2+(2

3

)2，
∴R²=9-6R+R²+12，
即R=

21

6

=

7

2

，
∴其外接球的體積是

4

3

×π×(

7

2

)3=

343

6

π，
故答案為：

343

6

π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查球的體積的計(jì)算，根據(jù)正六棱錐對(duì)稱性建立方程，求出球的半徑是解決本題的關(guān)鍵．