已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-ax+1．
（Ⅰ）若x=1時，f（x）取得極值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值；
（Ⅲ）若對任意m∈R，直線y=-x+m都不是曲線y=f（x）的切線，求a的取值范圍．
（I）∵f'（x）=x2-a，
當x=1時，f（x）取得極值，∴f'（1）=1-a=0，a=1．
又當x∈（-1，1）時，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，
∴f（x）在x=1處取得極小值，即a=1符合題意            
（II） 當a≤0時，f'（x）＞0對x∈（0，1]成立，
∴f（x）在（0，1]上單調遞增，f（x）在x=0處取最小值f（0）=1．
當a＞0時，令f'（x）=x2-a=0，x1=-
a
，x2=
a
，
當0＜a＜1時，
a
＜1，當x∈(0，
a
)時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，x∈(
a
，1)時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增．
所以f（x）在x=
a
處取得最小值f(
a
)=1-
2a
a
3
．
當a≥1時，
a
≥1，x∈（0，1）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減
所以f（x）在x=1處取得最小值f(1)=
4
3
-a．
綜上所述：
當a≤0時，f（x）在x=0處取最小值f（0）=1．
當0＜a＜1時，f（x）在x=
a
處取得最小值f(
a
)=1-
2a
a
3
．
當a≥1時，f（x）在x=1處取得最小值f(1)=
4
3
-a．
（III）因為?m∈R，直線y=-x+m都不是曲線y=f（x）的切線，
所以f'（x）=x2-a≠-1對x∈R成立，
只要f'（x）=x2-a的最小值大于-1即可，
而f'（x）=x2-a的最小值為f（0）=-a
所以-a＞-1，即a＜1．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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