Question

甲、乙兩臺機床生產同一型號零件．記生產的零件的尺寸為t（cm），相關行業(yè)質檢部門規(guī)定：若t∈（2.9，3.1]，則該零件為優(yōu)等品；若t∈（2.8，2.9]∪（3.1，3.2]，則該零件為中等品；其余零件為次品．現(xiàn)分別從甲、乙機床生產的零件中各隨機抽取50件，經質量檢測得到下表數據：

尺寸	[2.7，2.8]	（2.8，2.9]	（2.9，3.0]	（3.0，3.1]	（3.1，3.2]	（3.2，3.3]
甲機床零件頻數	2	3	20	20	4	1
乙機床零件頻數	3	5	17	13	8	4

（Ⅰ）設生產每件產品的利潤為：優(yōu)等品3元，中等品1元，次品虧本1元．試根據樣本估計總體的思想，估算甲機床生產一件零件的利潤的平均值；
（Ⅱ）對于這兩臺機床生產的零件，在排除其它因素影響的情況下，試根據樣本估計總體的思想，估計約有多大的把握認為“零件優(yōu)等與否和所用機床有關”，并說明理由．
參考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．參考數據：

P（K2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析：（I）求出隨機抽取50件樣本的總利潤，然后將總利潤除以50即可求出甲機床生產一件零件的利潤的平均值；
（Ⅱ）根據所給的數據，列出列聯(lián)表，根據所給的數值代入公式K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，同臨界值進行比較，得到有95%的把握認為“零件優(yōu)等與否和所用機床有關”．

解答：解：（Ⅰ）設甲機床生產一件零件獲得的利潤為X元，
則有X=[40×3+7×1+3×（-1）]÷50=2.48 元
所以，甲機床生產一件零件的利潤的平均值為2.48元．
（Ⅱ）由表中數據可知：甲機床優(yōu)等品40個，非優(yōu)等品10個；乙機床優(yōu)等品30個，非優(yōu)等品20個．
制作2×2列聯(lián)表如下：

	甲機床	乙機床	合計
優(yōu)等品	40	30	70
非優(yōu)等品	10	20	30
合計	50	50	100

計算K²=

100(40×20-30×10)2

50×50×70×30

=

100

21

≈4.762．
考察參考數據并注意到3.841＜4.762＜5.024，可知：對于這兩臺機床生產的零件，在排除其它因素影響的情況下，根據樣本估計總體的思想，約有95%的把握認為“零件優(yōu)等與否和所用機床有關”．

點評：本題考查考查列聯(lián)表，獨立性檢驗的應用，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．