已知a∈R,給出下面兩個命題:命題p:“在x∈[1,2]內(nèi),不等式x2+2ax-2>0恒成立”;命題q:“關(guān)于x的不等式(a2-1)x2+(a-1)x-2>0的解集為空集”;當p、q中有且僅有一個為真命題時,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:兩個命題中有且只有一個是真命題,則需要對p、q的誰真誰假分情況討論.對于命題p可以利用分參思想轉(zhuǎn)化為恒成立問題.對于命題q:不等式的解集為空集,a應滿足a=1或
,即可求出命題q,然后根據(jù)當p、q中有且僅有一個為真命題時,分情況討論,即可求得實數(shù)a的取值范圍..
解答:解:∵x∈[1,2]時,不等式x
2+2ax-2>0恒成立
∴2a
>=- x,
在x∈[1,2]上恒成立,
令g(x)=
- x,
則g(x)在[1,2]上是減函數(shù),g(x)
max=g(1)=1,
∴2a>1.∴若命題p真,則a>
,
當命題q真時,a應滿足a=1或
,解得
-≤a≤1,
∴當p、q中有且僅有一個為真命題時,即
或
,
∴
a∈[-,]∪(1,+∞).
點評:此題是個中檔題.本題考查二次不等式恒成立求參數(shù)范圍、二次不等式的解法、分類討論的數(shù)學思想方法,同時考查學生對題意的理解與轉(zhuǎn)化和計算能力.