設(shè)函數(shù)．

（1）求函數(shù)在上的值域；

（2）證明對于每一個，在上存在唯一的，使得；

（3）求的值．

 

【答案】

(1) ；（2）證明見解析；（3）當(dāng)時，為，當(dāng)且時，為．

【解析】

試題分析：(1)由于可以看作為的二次函數(shù)，故可利用換元法借助二次函數(shù)知識求出值域；（2）這類問題的常用方法是證明在區(qū)間是單調(diào)的，且或者或，即可得證；本題中證時也可數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）要求的值，注意分類討論，時直接得結(jié)論，那么求時，只要用分組求和即可，在時，中除第一項(xiàng)外是一個公比不為1的等比數(shù)列的和，因此先求出

，同樣在求時用分組求和的方法可求得結(jié)論．

試題解析：（1），由 令，．

，在上單調(diào)遞增，在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030303272421872189/SYS201403030328135000366897_DA.files/image001.png">．     4分

（2）對于，有，，從而，,,在上單調(diào)遞減, ,在上單調(diào)遞減．

又.

.      7分

當(dāng)時，

（注用數(shù)學(xué)歸納法證明相應(yīng)給分）

又，即對于任意自然數(shù)有

對于每一個，存在唯一的，使得      11分

（3）．

當(dāng)時，．

.      14分

當(dāng)且時，．

     18分

考點(diǎn)：(1)換元法與二次函數(shù)的值域；（2）函數(shù)的零點(diǎn)；（3）分類討論與分組求和．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

由函數(shù)y=f（x）確定數(shù)列{an}，an=f（n），函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f-1（x）能確定數(shù)列bn，bn=f-1（n）若對于任意n∈N*都有bn=an，則稱數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的“自反函數(shù)列”
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=
px+1
x+1
，若由函數(shù)f（x）確定的數(shù)列{an}的自反數(shù)列為{bn}，求an；
（2）已知正整數(shù)列{cn}的前項(xiàng)和sn=
1
2
（cn+
n
cn
）．寫出Sn表達(dá)式，并證明你的結(jié)論；
（3）在（1）和（2）的條件下，d1=2，當(dāng)n≥2時，設(shè)dn=
-1
anSn2
，Dn是數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和，且Dn＞loga（1-2a）恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖所示：
（1）求ω，φ的值；
（2）設(shè)g（x）=2
2
f（
x
2
）f（
x
2
-
π
8
）-1，當(dāng)x∈[0，
π
2
]時，求函數(shù)g（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x1，x2（x1≠x2）是函數(shù)f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的兩個極值點(diǎn)．
（1）若x1=-1，x2=2，求函f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2
2
，求b的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•金山區(qū)一模）已知等差數(shù)列{an}滿足：a1+a2n-1=2n，（n∈N*），設(shè)Sn是數(shù)列{
1an
}的前n項(xiàng)和，記f（n）=S2n-Sn，
（1）求an；（n∈N*）
（2）比較f（n+1）與f（n）的大小；（n∈N*）
（3）如果函數(shù)g（x）=log2x-12f（n）（其中x∈[a，b]）對于一切大于1的自然數(shù)n，其函數(shù)值都小于零，那么a、b應(yīng)滿足什么條件？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年山東省青島市高三3月統(tǒng)一質(zhì)量檢測考試（第二套）理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)．

（1）求的最小值；

（2）當(dāng)函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時，這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間.設(shè)，試問函數(shù)在上是否存在保值區(qū)間？若存在，請求出一個保值區(qū)間；若不存在，請說明理由.

 

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