Question

定義在（-∞，0）∪（0，+8）上的函數(shù)f（x），如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“等比函數(shù)”．現(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞上的如下函數(shù)：
①f（x）=2^x；
②f（x）=log₂|x|；
③f（x）=x²；
④f（x）=ln2^x，
則其中是“等比函數(shù)”的f（x）的序號(hào)為_(kāi)_______．

Answer 1

③④
分析：根據(jù)新定義“保比等比數(shù)列”，結(jié)合等比數(shù)列中項(xiàng)的定義a_n•a_n+2=a_n+1²，逐一判斷四個(gè)函數(shù)，即可得到結(jié)論．
解答：由等比數(shù)列性質(zhì)知a_n•a_n+2=a_n+1²，
①當(dāng)f（x）=2^x時(shí)，f（a_n）f（a_n+2）=2^a_n•2^a_n+2=2^a_n+a_n+2≠2^2a_n+1=f²（a_n+1），故①不正確；
②f（a_n）f（a_n+2）=log₂|a_n|log₂|a_n+2|≠log₂|a_n+1|²=f²（a_n+1），故②不正確；
③當(dāng)f（x）=x²時(shí)，f（a_n）f（a_n+2）=a_n²a_n+2²=（a_n+1²）²=f²（a_n+1），故③正確；
④f（a_n）f（a_n+2）=a_nln2•a_n+2ln2=a_n+1²ln²2=f²（a_n+1），故④正確；
故答案為：③④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列性質(zhì)及命題的真假判斷與應(yīng)用，正確運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．