Question

已知函數(shù)。

(1)當時，①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；

(2)若函數(shù)既有極大值，又有極小值，且當時，恒成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：，單調(diào)遞減區(qū)間是：（1，3）；（2）.

【解析】

試題分析：(1)①：當m=2時，可以得到f(x)的具體的表達式，進而求得的表達式，根據(jù)即可確定f(x)的單調(diào)區(qū)間；②：根據(jù)①中所得的的表達式，可以得到的值，即切線方程的斜率，在由過(0,0)即可求得f(x)在(0,0)處的切線方程；(2) f(x)即有極大值，又有極小值，說明有兩個不同的零點，在時，恒成立，

說明<36恒成立，

即，通過判斷在[0,4m]上的單調(diào)性，即可求把 用含m的代數(shù)式表示出來，從而建立關于m的不等式.

（1）當m=2時，則 1分

①令，解得x=1或x=3 2分

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：，單調(diào)遞減區(qū)間是：（1，3） 4分

②∵，∴函數(shù)y=f(x)的圖象在點(0,0)處的切線方程為y=3x 6分；

(2)因為函數(shù)f(x)既有極大值，又有極小值，則有兩個不同的根，則有

又 8分

令，依題意：即可.

,,

10分

,又，

∴g(x)最大值為 12分, 13分

∴m的取值范圍為 14分．.

考點：1、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和切線方程；2、恒成立問題的處理方法.