7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A,B分別為x軸,y軸上一點(diǎn),且AB=2,若點(diǎn)P(2,$\sqrt{5}$),則|$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$|的取值范圍是[7,11].

分析 根據(jù)題意,設(shè)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),利用AB=2得出方程①;再寫出向量$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$的坐標(biāo)表示,求出${(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{OP})}^{2}$的取值范圍,即可得出|$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$|的取值范圍.

解答 解:根據(jù)題意,設(shè)點(diǎn)A(x1,0),B(0,y2),
AB=2,∴${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$=4①;
由點(diǎn)P(2,$\sqrt{5}$),
∴$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$=(2-x1$\sqrt{5}$)+(2$\sqrt{5}$-y2)+(2$\sqrt{5}$)
=(6-x1,3$\sqrt{5}$-y2);
∴${(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{OP})}^{2}$=${(6{-x}_{1})}^{2}$+${(3\sqrt{5}{-y}_{2})}^{2}$
=81-12x1-6$\sqrt{5}$y2+(${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$)
=85-12x1-6$\sqrt{5}$y2②;
設(shè)$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2cosθ}\\{{y}_{2}=2sinθ}\end{array}\right.$,θ∈[0,2π);
則85-12x1-6$\sqrt{5}$y2=85-24cosθ-12$\sqrt{5}$sinθ
=85-36sin(θ+α),其中α=tan$\frac{\sqrt{5}}{2}$;
∴當(dāng)sin(θ+α)=1時(shí),|$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$|取得最小值$\sqrt{85-36}$=7,
當(dāng)sin(θ+α)=-1時(shí),|$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$|取得最大值$\sqrt{85+36}$=11;
∴|$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$|的取值范圍是[7,11].
故答案為:[7,11].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了求向量模長(zhǎng)的應(yīng)用問(wèn)題,考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題,是綜合性題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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性別
是否公平
公平4030
不公平160270
(1)估計(jì)該地區(qū)大學(xué)生中,求職中收到了公平對(duì)待的學(xué)生的概率;
(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的大學(xué)生求職中受到了不公平對(duì)待與性別有關(guān)?
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,能否提出更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)的大學(xué)生中,求職中是否受到了不公平對(duì)待學(xué)生的比例?說(shuō)明理由.
附:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(K2≥k)0.0000.0100.001
k3.8416.63510.828

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