Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A，B分別為x軸，y軸上一點(diǎn)，且AB=2，若點(diǎn)P（2，$\sqrt{5}$），則|$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$|的取值范圍是[7，11]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用AB=2得出方程①；再寫出向量$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$的坐標(biāo)表示，求出${（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{OP}）}^{2}$的取值范圍，即可得出|$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$|的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)A（x₁，0），B（0，y₂），
AB=2，∴${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$=4①；
由點(diǎn)P（2，$\sqrt{5}$），
∴$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$=（2-x₁$\sqrt{5}$）+（2$\sqrt{5}$-y₂）+（2$\sqrt{5}$）
=（6-x₁，3$\sqrt{5}$-y₂）；
∴${（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{OP}）}^{2}$=${（6{-x}_{1}）}^{2}$+${（3\sqrt{5}{-y}_{2}）}^{2}$
=81-12x₁-6$\sqrt{5}$y₂+（${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$）
=85-12x₁-6$\sqrt{5}$y₂②；
設(shè)$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2cosθ}\\{{y}_{2}=2sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[0，2π）；
則85-12x₁-6$\sqrt{5}$y₂=85-24cosθ-12$\sqrt{5}$sinθ
=85-36sin（θ+α），其中α=tan$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
∴當(dāng)sin（θ+α）=1時(shí)，|$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$|取得最小值$\sqrt{85-36}$=7，
當(dāng)sin（θ+α）=-1時(shí)，|$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$|取得最大值$\sqrt{85+36}$=11；
∴|$\overline{AP}$+$\overline{BP}$+$\overline{OP}$|的取值范圍是[7，11]．
故答案為：[7，11]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了求向量模長(zhǎng)的應(yīng)用問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．