Question

如圖，以銳角△ABC的邊AB為直徑作半圓⊙O交邊BC、CA于點E、F．過點E、F分別作⊙O的切線得交點P．求證：CP⊥AB．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：連接AE、BF得交點Q，由已知得CQ⊥AB．延長FP到點K，使PK=PF，連接EF、KE．則∠PEF=∠PFE=∠EAF．連接PQ并延長交AB于點H，由已知推導(dǎo)出K、F、Q、E四點共圓，由此能證明CP⊥AB．

解答： 證明：如圖，連接AE、BF得交點Q，
∵∠AEB=∠AFB=90°，
∴點Q為△ABC的垂心，
∴CQ⊥AB．①
延長FP到點K，使PK=PF，連接EF、KE．
由題意知∠PEF=∠PFE=∠EAF．
連接PQ并延長交AB于點H，
∵∠EQF=180°-∠AQF
=180°-（90°-∠EAF）=90°+∠EAF=90°+∠PEF，
∠K=

1

2

∠EPF=90°-∠PEF
∴∠EQF+∠K=180°．
故K、F、Q、E四點共圓，
∵PK=PE=PF，
∴P必是該圓的圓心．
∴PQ=PF．
∴∠PQF=∠PFQ=∠PFB=∠FAB=∠FAH，
∴A、H、Q、F四點共圓．
則∠PHA=∠QHA=180°-∠QFA=90°，
∴PH⊥AB，即PQ⊥AB．②
由①、②知，C、P、Q三點共線，
∴CP⊥AB．

點評：本題考查兩直線垂直的證明，解題時要注意四點共圓的性質(zhì)的合理運用，是中檔題．