Question

（2009•閘北區(qū)一模）記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S′，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S″．
（1）若{a_n}是等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)n為偶數(shù)，首項(xiàng)a₁=1，公差d=

3

2

，且S″-S′=15，求S_n；
（2）若{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a₁＞0，公差d∈N^*，且S′=36，S″=27，請(qǐng)寫出所有滿足條件的數(shù)列；
（3）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，滿足2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*），其中實(shí)常數(shù)t∈(

3

5

，3)，且S′-S″=

5

2

，請(qǐng)寫出滿足上述條件常數(shù)t的兩個(gè)不同的值和它們所對(duì)應(yīng)的數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）{a_n}是等差數(shù)列，則S″-S′=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）…（a_2n-a_2n-1）=d+d+…d=d×

n

2

求出n，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算
（2）{a_n}是等差數(shù)列，根據(jù)條件，結(jié)合（1）判斷n是奇數(shù)．利用等差數(shù)列性質(zhì)和求和公式，得出

S′

S″

=

k+1

k

=

36

27

，
得出項(xiàng)數(shù)，繼而分類寫出滿足條件的數(shù)列．
（3）根據(jù)Sn與an的固有關(guān)系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

，得出

an+1

an

=

3(t-1)

2t

，借助于等比數(shù)列性質(zhì)解決．

解答：解：（1）若數(shù)列{a_n}項(xiàng)數(shù)n為偶數(shù)，由已知，得S″-S′=15=

3

2

•

n

2

，（2分）
解得n=20，（1分）
Sn=1×20+

20×19

2

×

3

2

=305．（1分）
（2）假設(shè)數(shù)列{a_n}項(xiàng)數(shù)n為偶數(shù)，S″-S′=

n

2

•d＞0與S″-S′=-9矛盾．故數(shù)列{a_n}項(xiàng)數(shù)n不為偶數(shù)，（1分）
設(shè)數(shù)列{a_n}項(xiàng)數(shù)n=2k+1（k∈N），
則S′=a1+a3+…+a2k+1=

a1+a2k+1

2

•(k+1)
∵a₁+a_2k+1=a₂+a_2k，
∴

S′

S″

=

k+1

k

=

36

27

，
解得k=3，項(xiàng)數(shù)n=2×3+1=7，（2分）
∵S7=S′+S″=63=7a1+

7×6

2

•d，
∴a₁+3d=9，
∵a₁=9-3d＞0，
∴d＜3．又d∈N^*，所以，d=1或d=2．
當(dāng)d=1時(shí)，a₁=6，此時(shí)，a_n=6+（n-1）•1=n+5，
所以，該數(shù)列為：6，7，8，9，10，11，12．（2分）
當(dāng)d=2時(shí)，a₁=3，此時(shí)，a_n=3+（n-1）•2=2n+1
所以，該數(shù)列為：3，5，7，9，11，13，15．（2分）
（3）在2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*）中，令n=1，得a2=

3(t-1)

2t

．
∵2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*）①
可得2tS_n-3（t-1）S_n-1=2t（n∈N^*，n＞1）②
①減去②得：

an+1

an

=

3(t-1)

2t

，且

a2

a1

=

3(t-1)

2t

．（2分）
∵

3

5

＜t＜3，
∴0＜|

3(t-1)

2t

|＜1．（當(dāng)t=1時(shí)，數(shù)列為1，0，0…，顯然不合題意）
所以，{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公比q=

3(t-1)

2t

的等比數(shù)列，且公比0＜|q|＜1．（2分）
設(shè)項(xiàng)數(shù)n=3，∵S′-S″=

5

2

，
∴1-q+q2=

5

2

，
∴q2-q-

3

2

=0，解得q=

1- 7

2

或q=

1+ 7

2

（舍）
由

1- 7

2

=

3(t-1)

2t

解得t=

7

-2∈(

3

5

，3)
所以，當(dāng)t=

7

-2時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列為1，

1- 7

2

，(

1- 7

2

)2．（2分）
設(shè)數(shù)列{a_n}為無(wú)窮數(shù)列，
由題意，得S′=

1

1-q2

，S″=

q

1-q2

，
∵S′-S″=

5

2

，
∴

1

1+q

=

5

2

，
∴q=-

3

5

∵

3(t-1)

2t

=-

3

5

，
∴t=

5

7

∈(

3

5

，3)．
所以，當(dāng)t=

5

7

時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列為1，-

3

5

，(-

3

5

)2，…，(-

3

5

)n-1，…（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用，轉(zhuǎn)化代換的方法．等比數(shù)列判定，分類討論、計(jì)算能力．