Question

設(shè)集合A={x|-1≤x≤a}，P={y|y=x+1，x∈A}，Q={y|y=x²，x∈A}，
（1）若Q∩P=Q，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)a，使得P=Q？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）若Q∩P=Q，可得出Q⊆P，求出兩個集合，根據(jù)包含關(guān)系的定義進行討論即可得出正確答案．
（2）在（1）的研究過程中選取可以說明問題的那一類進行說明即可．

解答：解：根據(jù)集合中元素的數(shù)學意義，應(yīng)將集合P、Q分別理解為一次函數(shù)與二次函數(shù)值域的集合，而它們的定義域均為集合A．
（1）∵P={y|0≤y≤a+1}，而Q中函數(shù)值必須分類討論．
①當-1≤a＜0時，Q={y|a²≤y≤1}，∵Q⊆P，∴

a2≥0 1≤a+1

，不合；
②當0≤a≤1時，Q={y|0≤y≤1}，∵P∩Q=Q，∴Q⊆P，∴1≤a+1，得0≤a≤1；
③當a＞1時，Q={y|0≤y≤a²}，∵Q⊆P，∴a2≤a+1，得1＜a≤

1+ 5

2

；
故，實數(shù)a的取值范圍是：[0，

1+ 5

2

]．
（2）在（1）②中令a+1=1得a=0，此時P=Q={y|0≤y≤1}；
在（1）③中令a+1=a2得a=

1+ 5

2

，此時P=Q={y|0≤y≤

1+ 5

2

}；
故，存在實數(shù)a=0或a=

1+ 5

2

使得P=Q．

點評：本題考查集合中的參數(shù)取值問題，此類題是集合問題中的一個難點，易因考慮不全出錯，求解此類題關(guān)鍵是根據(jù)題中所給的條件進行正確轉(zhuǎn)化，得出參數(shù)所滿足的方程或者不等式．