Question

15．四面體A-BCD各面都是邊長(zhǎng)為$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$的全等三角形，則該四面體的體積為2，頂點(diǎn)A到底面BCD的距離為$\frac{12}{7}$．

Answer 1

分析 可將四面體A-BCD放到對(duì)角線長(zhǎng)分別是$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為1，2，3，求出四面體的體積，求出△BCD的面積，利用體積公式求出頂點(diǎn)A到底面BCD的距離．

解答 解：由題意，∵四面體A-BCD各面都是邊長(zhǎng)為$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，
∴可將四面體A-BCD放到對(duì)角線長(zhǎng)分別是$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為1，2，3，
∴四面體的體積為1×2×3-4×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×3$=2；
不妨設(shè)BC=$\sqrt{5}$，BD=$\sqrt{10}$，CD=$\sqrt{13}$，∴cosB=$\frac{5+10-13}{2\sqrt{5}×\sqrt{10}}$=$\frac{1}{\sqrt{50}}$，
∴sinB=$\frac{7}{\sqrt{50}}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}•\sqrt{5}•\sqrt{10}•\frac{7}{\sqrt{50}}$=$\frac{7}{2}$，
∴頂點(diǎn)A到底面BCD的距離為$\frac{6}{\frac{7}{2}}$=$\frac{12}{7}$．
故答案為：2，$\frac{12}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體的體積，頂點(diǎn)A到底面BCD的距離，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．