Question

已知直線l經(jīng)過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若|AF|=4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，當(dāng)線段AB的長(zhǎng)等于5時(shí)，求k的值．
（3）求拋物線y²=4x上一點(diǎn)P到直線2x-y+4=0的距離的最小值．并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），則|AF|=x₁+

p

2

，求出x₁，代入y²=4x，即可求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）直線l的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)立，利用|AB|=x₁+x₂+p=5，即可求k的值．
（3）設(shè)P（x，y），求出P到直線2x-y+4=0的距離，利用配方法求最值．

解答：解：由y²=4x，得p=2，其準(zhǔn)線方程為x=-1，焦點(diǎn)F（1，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）|AF|=x₁+

p

2

，從而x₁=4-1=3．代入y²=4x，得y=±2

3

．
所以點(diǎn)A為（3，2

3

）或（3，-2

3

）
（2）直線l的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)立，消去y，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0（*），
因?yàn)橹本�與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，則k≠0，
設(shè)其兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=2+

4

k2

．
由拋物線的定義可知，|AB|=x₁+x₂+p=4+

4

k2

=5，解得k=±2；
（3）設(shè)P（x，y），則P到直線2x-y+4=0距離為d=

|2x-y+4|

5

=

| y2 2 -y+4|

5

=

| 1 2 (y-1)2+ 7 2 |

5

∴y=1時(shí)，P到直線2x-y+4=0距離的最小值為

7 5

10

，此時(shí)P（0.25，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離的運(yùn)用，考查配方法，正確運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式是關(guān)鍵．