Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞0，且a≠

1

2

，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，求出f（x）的解析式與導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算f′（1）的值，即y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率；
（2）求f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），討論a的取值，對應(yīng)f′（x）的值是否大于0？小于0？從而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，
f（x）=x²-（2a+1）x+aln x
=x²-5x+2ln x，
∴f′（x）=2x-5+

2

x

，
∴f′（1）=-1，
又f（1）=-4，
∴y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：x-1=-[y-（-4）]，即x+y+3=0．
（2）∵f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，
∴f′（x）=2x-（2a+1）+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

（x＞0），
令f′（x）=0，可得x₁=

1

2

，x₂=a．
①當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，由f′（x）＞0?x＞a或x＜

1

2

，
∴f（x）在（0，

1

2

），（a，+∞）上單調(diào)遞增．
由f′（x）＜0?

1

2

＜x＜a．
∴f（x）在（

1

2

，a）上單調(diào)遞減．
②當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，由f′（x）＞0可得f（x）在（0，a），（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增．
由f′（x）＜0可得f（x）在（a，

1

2

）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)來求函數(shù)在某一點(diǎn)處的斜率以及研究函數(shù)的單調(diào)性問題，是較難的題目．