Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= x2+ax﹣lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意a∈（3，4）及任意x1 ， x2∈[1，2]，恒有 m+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）

當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x﹣lnx，則f′（x）=

令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；

令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；

∴x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值為1；

（2）解：f′（x）=

當(dāng) ，即a=2時(shí)， ，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；

當(dāng) ，即a＞2時(shí)，令f′（x）＜0，得 或x＞1；令f′（x）＞0，得

當(dāng) ，即1＜a＜2時(shí)，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞ ；令f′（x）＞0，得

綜上，當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在定義域上是減函數(shù)；

當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在（0， ）和（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（ ，1）上單調(diào)遞增；

當(dāng)1＜a＜2時(shí)，f（x）在（0，1）和（ ，+∞）上單調(diào)遞減，在（1， ）上單調(diào)遞增；

（3）解：由（2）知，當(dāng)a∈（3，4）時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減

∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最大值，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有最小值

∴

∴對(duì)任意a∈（3，4），恒有

∴m＞

構(gòu)造函數(shù) ，則

∵a∈（3，4），∴

∴函數(shù) 在（3，4）上單調(diào)增

∴g（a）∈（0， ）

∴m≥

【解析】（1）確定函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的極值；（2）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）= ，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性；（3）由（2）知，當(dāng)a∈（3，4）時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，從而可得 對(duì)任意a∈（3，4），恒有 ，等價(jià)于m＞ ，求出右邊函數(shù)的值域，即可求得結(jié)論．