Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²（n∈N^*）．設(shè)數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．
（Ⅰ）求T_n；
（Ⅱ）求正整數(shù)m，n （m≠n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意和當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1化簡(jiǎn)，再驗(yàn)證a₁=S₁，求出a_n代入

1

anan+1

化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n；
（Ⅱ）由（I）化簡(jiǎn)T_n，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得

T

2 m

=T₁•T_n，化簡(jiǎn)后求出m的范圍，再由m，n （m≠n）取正整數(shù)，求出m、n的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²（n∈N^*），
所以當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又a₁=S₁=1，故a_n=2n-1 （n∈N*），
所以

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
則T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（(

1

2n-1

-

1

2n+1

)）]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

；      …（5分）
（Ⅱ）假設(shè)正整數(shù)m，n （m≠n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．
由（I）得，T_n=

n

2n+1

=

1

2+ 1 n

（n∈N*），所以{T_n}是遞增數(shù)列，
由

T

2 m

=T₁•T_n 得，（2+

1

m

）²=

1

3

（

1

2+ 1 n

）=6+

3

n

＞6，故2+

1

m

＞

6

，
又m≠n，所以1＜m＜

2+ 6

2

（ m∈N*），
即m=2，解得n=12．
所以當(dāng)m=2，n=12時(shí)，T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列． …（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列a_n與S_n的關(guān)系式，等比中項(xiàng)的性質(zhì)，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力．