Question

設(shè)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）遞增，f（3）=0，則不等式（x+3）[f（x）-f（-x）]＜0的解集是（ ）
A．（0，3）
B．（-∞，-3）∪（0，3）
C．（-3，0）∪（3，+∞）
D．（-3，0）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，因此不等式（x+3）[f（x）-f（-x）]＜0?（x+3）f（x）＜0，然后對x+3＞0和x+3＜0，進行討論，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得結(jié)果．
解答：解：∵f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，
∴不等式（x+3）[f（x）-f（-x）]＜0?（x+3）f（x）＜0，
∵f（3）=0，∴f（-3）=0，
①當x+3＜0時，即x＜-3，
原不等式等價于f（x）＞0=f（-3），
∵f（x）在（0，+∞）遞增，
∴f（x）在（-∞，0）遞增，
∴x＞-3，
∴原不等式的解集為∅；
②-3＜x＜0時，有x+3＞0，原不等式等價于f（x）＜0=f（-3），
∴x＜-3，
∴原不等式的解集為∅；
③x＞0時，有x+3＞0，原不等式等價于f（x）＜0=f（3），
∵f（x）在（0，+∞）遞增，
∴x＜3
∴原不等式的解集為（0，3）．
∴不等式（x+3）[f（x）-f（-x）]＜0的解集是（0，3）．
故選A．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，以及利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想和分類討論的思想方法，考查運算能力，屬中檔題．