如圖(1),△BCD內(nèi)接于直角梯形A1A2A3D,已知沿△BCD三邊將△A1BD、△A2BC、△A3CD翻折上去,恰好形成一個(gè)三棱錐ABCD，如圖（2）所示.

 (1)求證:在三棱錐ABCD中，AB⊥CD；

(2)若直角梯形的上底A1D=10，高A1A2=8，求翻折后三棱錐的側(cè)面ACD與底面BCD所成二面角θ的余弦值.

 (1)證明:在直角梯形A1A2A3D中,

A1D⊥A1B,A2C⊥A2B,

翻折成三棱錐后仍有AB⊥AD,AB⊥AC,

∴AB⊥平面ACD.

又平面ACD,∴AB⊥CD.

 (2)解:由題設(shè)可知,B、C必是A1A2、A2A3的中點(diǎn),A1D=A3D.

∴A1D=A3D=10,A1B=A2B=4.

過D作DE⊥A2A3,垂足為E,得DE=8.

在Rt△DEA3中,得EA3=6,

∴A2A3=16.

于是A2C=CA3=8，CE=2.

不難得到S△BCD=36,S△CDA=32.

∵AB⊥平面ACD,

由面積射影定理得.

故側(cè)面ACD與底面BCD所成二面角θ的余弦值為.


解析:

空間直線和平面

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖1，等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=4，∠ADC=∠BCD=60°．取線段CD中點(diǎn)E，將△ADE沿AE折起，如圖2所示．
（1）當(dāng)平面ADE折到與底面ABCE所成的二面角為900時(shí)，如圖3所示，求此時(shí)二面角A-BD-C平面角的余弦值．
（2）在將△ADE開始折起到與△ABE重合的過程中，求直線DC與平面ABCE所成角的正切值的取值范圍．

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（2012•福建模擬）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=1，AD=
3
，AB⊥BC，CD⊥BD，如圖1．把△ABD沿BD翻折，使得平面A′BD⊥平面BCD，如圖2．

（Ⅰ）求證：CD⊥A′B；
（Ⅱ）求三棱錐A′-BDC的體積；
（Ⅲ）在線段BC上是否存在點(diǎn)N，使得A′N⊥BD？若存在，請(qǐng)求出
BN
BC
的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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如圖1，在正四面體A-BCD中，E、F、G分別是三角形ADC、ABD、BCD的中心，則△EFG在該正四面體各個(gè)面上的射影所有可能是圖2中的
③④
③④
．

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（2013•韶關(guān)二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=
12
AB=2，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（1）求證：DA⊥BC；
（2）在CD上找一點(diǎn)F，使AD∥平面EFB；
（3）求點(diǎn)A到平面BCD的距離．

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