Question

20．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）=-2f（x+1），且在區(qū)間[0，1）上，有表達(dá)式f（x）=x²．
（1）求f（-1），f（1.5）；
（2）寫出f（x）在區(qū)間[-2，2]上的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=-2f（x+1），進(jìn)行賦值，即可求f（-1），f（1.5）的值；
（2）設(shè)-2≤x＜-1，利用f（x）在區(qū)間[0，1]上有表達(dá)式f（x）=x²，f（x）=-2f（x+1），可求函數(shù)解析式．

解答 解：（1）∵f（x）=-2f（x+1），
∴f（-1）=-2f（0）=-2×0=0，
f（1.5）=f（1+0.5）=-$\frac{1}{2}$f（0.5）=-$\frac{1}{2}$×0.5²=-$\frac{1}{8}$，
（2）當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)，（x+1+1）∈[0，1]；
∴f（x）=-2f（x+1）=4f（x+2）=4（x+2）²；
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，（x+1）∈（0，1）；
∴f（x）=-2f（x+1）=-2（x+2）²；
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²；
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，（x-1）∈（0，1]；
f（x）=f（x-1+1）=-$\frac{1}{2}$f（x-1）=-$\frac{1}{2}$（x-1）²，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4（x+2）^{2}，x∈[-2，-1]}\\{-2（x+1）^{2}，x∈（-1，0）}\\{{x}^{2}，x∈[0，1]}\\{-\frac{1}{2}（x-1）^{2}，x∈（1，2]}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)最值的討論，考查學(xué)生分析解決問題的能力．