Question

如圖，正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點E為AB上一點

(I) 當點E為AB的中點時,求證；BD₁//平面A₁DE

(II )求點A₁到平面BDD₁的距離；

(III)   當時，求二面角D₁-EC-D的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）略   （2）A₁到面BDD₁的距離為 （3）D₁-EC-D的大小為

【解析】(I) 要證BD₁//平面A₁DE，只要證明BD₁平行該面內(nèi)的一條直線，取中點，由中位線可證得；(II )等積法求高；(III)可以用傳統(tǒng)法找出平面角也可以向量法求。

解法一：（I）證明：連結(jié)AD₁交A₁D于F，則F為中點，連結(jié)EF，如圖．

∵ E為中點，∴ EF//BD₁．又EF面A₁DE，BD₁面A₁DE，

∴ BD₁//面A₁DE．……………3分

（II）在Rt△ABD中，AB=2AD=2，可得BD=，

∴ ，，

設(shè)A₁到面BDD₁的距離為d，則由有

，即，解得 ，

即A₁到面BDD₁的距離為．……………………………………………8分

（III）連結(jié)EC．由，有，，

過D作DH⊥EC于H，連結(jié)D₁H，由已知面AA₁D₁D⊥面ABCD且DD₁⊥AD，

∴DD₁⊥面ABCD．由三垂線定理知：D₁H⊥EC，∴ ∠DHD₁為D₁-EC-D的平面角．

Rt△EBC中，由，BC=1，得．又DH·EC=DC·BC，代入解得，

∴在Rt△DHD₁中，．∴，即二面角D₁-EC-D的大小為．…………12分

解法二：（I）同解法一．………………3分

（II）由面ABCD⊥面ADD₁A，且四邊形AA₁D₁D為正方形，四邊形ABCD為矩形，可得D₁D⊥AD，D₁D⊥DC，DC⊥DA．

于是以D為原點，DA，DC，DD₁分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

由AB=2AD=2知：D(0，0，0)，D₁(0，0，1)，A₁(1，0，1)，B(1，2，0)，

∴ =(1，2，0)，=(0，0，1)，=(0，2，-1)．設(shè)面BDD₁的一個法向量為n₁，

則  即  ∴．

∴ 點A₁到面BDD₁的距離．   …………………………8分

（III）由（II）及題意知：E(1，，0)，C(0，2，0)，，．

設(shè)面D₁EC的一個法向量為，

則   即可得．

又易知面DEC的一個法向量是(0，0，1)，

設(shè)D₁-EC-D的大小為θ，則，得．

即D₁-EC-D的大小為