Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a₂=2，且對(duì)任意m、n∈N^*都有a_2m-1+a_2n-1=2a_m+n-1+2（m-n）²
（1）求a₃，a₅；
（2）設(shè)b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N^*），證明：{b_n}是等差數(shù)列；
（3）設(shè)c_n=（a_n+1-a_n）q^n-1（q≠0，n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）欲求a₃，a₅只需令m=2，n=1賦值即可．
（2）以n+2代替m，然后利用配湊得到b_n+1-b_n，和等差數(shù)列的定義即可證明．
（3）由（1）（2）兩問的結(jié)果可以求得c_n，利用乘公比錯(cuò)位相減求{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）由題意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂-a₁+2=6
再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃-a₁+8=20
（2）當(dāng)n∈N^*時(shí)，由已知（以n+2代替m）可得
a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8
于是[a_2（n+1）+1-a_2（n+1）-1]-（a_2n+1-a_2n-1）=8
即b_n+1-b_n=8
所以{b_n}是公差為8的等差數(shù)列
（3）由（1）（2）解答可知{b_n}是首項(xiàng)為b₁=a₃-a₁=6，公差為8的等差數(shù)列
則b_n=8n-2，即a_2n+1-a_2n-1=8n-2
另由已知（令m=1）可得
a_n=

a2n-1+a1

2

-（n-1）²．
那么a_n+1-a_n=

a2n+1-a2n-1

2

-2n+1=

8n-2

2

-2n+1=2n
于是c_n=2nq^n-1．
當(dāng)q=1時(shí)，S_n=2+4+6++2n=n（n+1）
當(dāng)q≠1時(shí)，S_n=2•q⁰+4•q¹+6•q²+…+2n•q^n-1．
兩邊同乘以q，可得
qS_n=2•q¹+4•q²+6•q³+…+2n•qⁿ．
上述兩式相減得
（1-q）S_n=2（1+q+q²+…+q^n-1）-2nqⁿ
=2•

1-qn

1-q

-2nqⁿ
=2•

1-(n+1)qn+nqn+1

1-q

所以S_n=2•

nqn+1-(n+1)qn+1

(q-1)2

綜上所述，S_n=

n(n+1)     (q=1) 2• nqn+1-(n+1)qn+1 (q-1)2      (q≠1)

．

點(diǎn)評(píng)：本小題是中檔題，主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力．同時(shí)考查了等差，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，和數(shù)列求和的方法．