Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+

ax

x+1

（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）求證：ln（1+

1

n

）＞

1

n

-

1

n2

（n∈N^*）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=ln（x+1）-

x

x+1

在（0，+∞）上單調(diào)遞增．當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞

x

x+1

． 再令x=

1

n

，則ln（1+

1

n

）＞

1 n

1 n +1

=

1

n+1

，利用

1

n

-

1

n+1

＜

1

n2

，即可的證．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=ln（x+1）+

2x

x+1

，
∴f′（x）=

x+3

(x+1)2

，（1分）
∴f′（0）=3，∴所求的切線的斜率為3．（2分）
又∵f（0）=0，∴切點(diǎn)為（0，0）．（3分）
故所求的切線方程為：y=3x．（4分）
（Ⅱ）解：∵f（x）=ln（x+1）+

ax

x+1

（x＞-1），
∴f′（x）=

x+1+a

(x+1)2

．  （6分）
①當(dāng)a≥0時(shí)，∵x＞-1，∴f′（x）＞0；  （7分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，
由

f′(x)＜0 x＞-1

，得-1＜x＜-1-a；由

f′(x)＞0 x＞-1

，得x＞-1-a；  （8分）
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，-1-a）單調(diào)遞減，在（-1-a，+∞）上單調(diào)遞增．（9分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）可知，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=ln（x+1）-

x

x+1

在（0，+∞）上單調(diào)遞增．  （10分）
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞

x

x+1

．  （11分）
令x=

1

n

，則ln（1+

1

n

）＞

1 n

1 n +1

=

1

n+1

．  （12分）
另一方面，∵

1

n(n+1)

＜

1

n2

，即

1

n

-

1

n+1

＜

1

n2

，
∴

1

n+1

＞

1

n

-

1

n2

，（13分）
∴l(xiāng)n（1+

1

n

）＞

1

n

-

1

n2

（n∈N^*）（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．