Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n，前n項(xiàng)的和為S_n，且有S_n=2-3a_n．
（1）求a_n；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）n=1時(shí)，由s₁=2-3a₁可求a₁，n≥2時(shí)由a_n=s_n-s_n-1可得a_n與a_n-1之間的遞推關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（2）結(jié)合（1）可求na_n，然后結(jié)合錯(cuò)位相減求和即可求解

解答：解：（1）n=1時(shí)，s₁=2-3a₁
∴a₁=

1

2

當(dāng)n≥2時(shí)3a_n=2-S_n①
3a_n-1=2-S_n-1②
①-②得   3（a_n-a_n-1）=-a_n，
∴4an=3an-1⇒

an

an-1

=

3

4

∵{a_n}是公比為

3

4

，首項(xiàng)為

1

2

的等比數(shù)列，an=

1

2

(

3

4

)n-1
（2）∵an=

1

2

(

3

4

)n-1=

2

3

•

3

4

(

3

4

)n-1=

2

3

•(

3

4

)n
Tn=

2

3

[1•(

3

4

)+2•(

3

4

)2+…+n•(

3

4

)n]①

3

4

Tn=

2

3

[1•(

3

4

)2+2•(

3

4

)3+…+n•(

3

4

)n+1]②
①-②得   

1

4

Tn=

2

3

[1•(

3

4

)+(

3

4

)2+…+(

3

4

)n-n•(

3

4

)n+1]
∴Tn=

8

3

[

3 4 [1-( 3 4 )n]

1- 3 4

-n•(

3

4

)n+1]=8[1-(

3

4

)n]-

8

3

n•(

3

4

)n+1
=8-8(

3

4

)n-

8

3

n(

3

4

)n+1=8-(

3

4

)n[8+

8

3

n•

3

4

]=8-(

3

4

)n(8+2n)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用．