Question

指出函數(shù)y=ax³+1的單調(diào)性，并加以證明．（其中a是非零常數(shù)）

Answer 1

分析：當a＞0時，設(shè)＜x₁＜x₂ ，計算 f(x1)-f(x2)=a(x1-x2)[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

]＜0，可得f（x₁）-f（x₂）＜0，從而y=ax³+1是增函數(shù)．當a＜0時，同理可證，y=ax³+1是減函數(shù)．

解答：解：當a＞0時，設(shè)-∞＜x₁＜x₂＜+∞，y=f（x）=ax³+1，則f(x1)-f(x2)=a(x1-x2)[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

]．（10分）
由題設(shè)可得 x₁-x₂＜0，由于(x1+

1

2

x2)2與

3

4

x

2 2

不可能同時為零，[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

]＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，從而y=ax³+1是增函數(shù)．（12分），
當a＜0時，同理可證，y=ax³+1是減函數(shù)．（14分）

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．