Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F．
（1）若直線l過點(diǎn)M（4，0），且F到直線l的距離為2，求直線l的方程；
（2）設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與X軸垂直，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．求證：線段AB的垂直平分線恰過定點(diǎn)．

Answer 1

（1）解：由已知，拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），x=4不合題意，
設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣4）
∵F到直線l的距離為2，
∴，
∴k=±
∴直線l的方程為y=±（x﹣4）
（2）證明：設(shè)A，B的坐標(biāo)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AB不與x軸垂直，
∴設(shè)直線AB的方程為y=kx+b代入拋物線方程，消元可得k²x²+（2bk﹣4）+b²=0
∴x₁+x₂=
∵線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2
∴=4
∴b=
∵線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2k+b）
∴AB的垂直平分線方程為：y﹣（2k+b）=﹣（x﹣2）
∵b=
∴方程可化為x+4y﹣4=0，顯然過定點(diǎn)（4，0）
∴線段AB的垂直平分線恰過定點(diǎn)