Question

已知函數(shù)f（x）=（1+）sin²x+msin（x+）sin（x-）
（1）當(dāng)m=0時(shí)，求f（x）在區(qū)間[，]上的取值范圍；
（2）當(dāng)tana=2時(shí)，f（a）=，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)m=0時(shí)，利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為 +sin（2x-），再根據(jù)x的范圍，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在區(qū)間[，]
上的取值范圍．
（2）由tana=2時(shí)，f（a）=，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得 sin²a=，cos²a=．化簡tan（a） 等于 ，可得=，由此解得m的值．
解答：解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)f（x）=（1+）sin²x=•sin²x=sin²x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x-）．
∵≤x≤，∴0≤2x-≤，∴-≤sin（2x-）≤1，0≤f（x）≤，
故f（x）在區(qū)間[，]上的取值范圍為[0 ，]．
（2）∵當(dāng)tana=2時(shí)，f（a）=，∴sin²a=，cos²a=．
再由f（a）=（1+ ）sin²a+msin（a+）sin（a-）=sin²a+m（sin²a-cos²a ）=，
可得=，解得m=-2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的定于域和值域，屬于中檔題．