Question

5．如圖，在棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為正三角形，側(cè)棱長等于底面邊長，且側(cè)棱與底面所成的角為60°，頂點為B₁在底面ABC上的射影O恰好是AB的中點
（1）求證：B₁C⊥C₁A；
（2）求二面角C₁-AB-C的大�。�

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，由已知得B₁O⊥平面ABC，OC⊥AB，以O(shè)為原點，OC為x軸，OA為y軸，OB₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明B₁C⊥C₁A．
（2）分別求出平面ABC₁的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角C₁-AB-C的大�。�

解答 （1）證明：連結(jié)OC，
∵在棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為正三角形，側(cè)棱長等于底面邊長，且側(cè)棱與底面所成的角為60°，
頂點為B₁在底面ABC上的射影O恰好是AB的中點，
∴B₁O⊥平面ABC，OC⊥AB，
以O(shè)為原點，OC為x軸，OA為y軸，OB₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長為2，則B₁（0，0，$\sqrt{3}$），C（$\sqrt{3}$，0，0），
C₁（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），A（0，1，0），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（$\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{C}_{1}A}$=（-$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{{C}_{1}A}$=-3+0+3=0，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}⊥\overrightarrow{{C}_{1}A}$，∴B₁C⊥C₁A．
（2）解：A（1，0，0），B（-1，0，0），C₁（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{BA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（$\sqrt{3}+1$，1，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面ABC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=（\sqrt{3}+1）x+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
由題意得平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
結(jié)合圖形得二面角C₁-AB-C的平面角是銳角，∴二面角C₁-AB-C的大小為60°．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．