Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=x-{x}的四個(gè)命題：
①y=f（x）的定義域是R，值域是（-

1

2

，

1

2

]；
②點(diǎn)（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的圖象的對(duì)稱中心；
③函數(shù)y=f（x）的最小正周期為1；
④函數(shù)y=f（x）在（-

1

2

，

3

2

]上是增函數(shù)；
則其中真命題是______．

Answer 1

①中，令x=m+a，a∈（-

1

2

，

1

2

]
∴f（x）=x-{x}=a∈（-

1

2

，

1

2

]
所以①正確；
②中∵f（2k-x）=（2k-x）-{2k-x}=（-x）-{-x}=f（-x）
∴點(diǎn)（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的圖象的對(duì)稱中心；故②錯(cuò)；
③中，∵f（x+1）=（x+1）-{x+1}=x-{x}=f（x）
所以周期為1，故③正確；
④中，x=-

1

2

時(shí)，m=-1，
f（-

1

2

）=

1

2

x=

1

2

時(shí)，m=0，
f（

1

2

）=

1

2

所以f（-

1

2

）=f（

1

2

）
所以④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．