Question

已知F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線上的點(diǎn)P滿足∠F₁PF₂=60°，且|OP|=

7

a（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A．2
• B．

  2 3

  3

• C．

  3

• D．

  6

  2

Answer 1

分析：假設(shè)|F₁P|=x，分別根據(jù)中線定理和余弦定理建立等式求得c²+5a²=14a²-2c²，可得a和c的關(guān)系，即可求雙曲線的離心率．

解答：解：不妨設(shè)P在左支上，|F₁P|=x，則|F₂P|=2a+x
∵OP為三角形F₁F₂P的中線，∴根據(jù)三角形中線定理可知x²+（2a+x）²=2（c²+7a²）
整理得x（x+2a）=c²+5a²
由余弦定理可知x²+（2a+x）²-x（2a+x）=4c²
整理得x（x+2a）=14a²-2c²
進(jìn)而可知c²+5a²=14a²-2c²
∴3a²=c²
∴e=

c

a

=

3

故選C．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．