Question

 (本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)

已知為坐標(biāo)原點，為橢圓：在軸正半軸上的焦點，過且斜率為的直線與交與、兩點，點滿足.

(I)證明：點在上；

(II)設(shè)點關(guān)于點的對稱點為，證明：、、、四點在同一圓上.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

【命題意圖】本題考查直線方程、平面向量的坐標(biāo)運算、點與曲線的位置關(guān)系、曲線交點坐標(biāo)求法及四點共圓的條件。

【分析】方程聯(lián)立利用韋達定理是解決這類問題的基本思路，注意把用坐標(biāo)表示后求出P點的坐標(biāo)，然后再結(jié)合直線方程把P點的縱坐標(biāo)也用A、B兩點的橫坐標(biāo)表示出來.從而求出點P的坐標(biāo)代入橢圓方程驗證即可證明點P在C上;(II)此問題證明有兩種思路：思路一：關(guān)鍵是證明互補.通過證明這兩個角的正切值互補即可，再求正切值時要注意利用到角公式.

思路二：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據(jù)兩條弦的垂直平分線的交點找出圓心N，然后證明N到四個點A、B、P、Q的距離相等即可.

【解析】(I),的方程為,代入并化簡得

.                  …………………………2分

設(shè),

則

   由題意得

所以點的坐標(biāo)為.

經(jīng)驗證點的坐標(biāo)滿足方程,故點在橢圓上 …6分

(II)由和題設(shè)知，，的垂直平分線的方程為

.                        ①

設(shè)的中點為,則,的垂直平分線的方程為

.                       ②

由①、②得、的交點為.         …………………………9分

,

,

,

,

,

故     ,

又      , ,

所以    ,

由此知、、、四點在以為圓心,為半徑的圓上. ……………12分

（II）法二：

同理

所以互補，

因此A、P、B、Q四點在同一圓上。

【點評】本題涉及到平面向量，有一定的綜合性和計算量，完成有難度. 首先出題位置和平時模擬幾乎沒有變化，都保持全卷倒數(shù)第二道題的位置，這點考生非常適應(yīng)的。相對來講比較容易，是因為這道題最好特點沒有任何的未知參數(shù)，我們看這道題橢圓完全給出，直線過了橢圓焦點，并且斜率也給出，平時做題斜率不給出，需要通過一定條件求出來，或者根本求不出來，這道題都給了，反而同學(xué)不知道怎么下手，讓我求什么不知道，給出馬上給向量條件，出了兩道證明題，這個跟平時做的不太一樣，證明題結(jié)論給大家，需要大家嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出來，可能敘述的時候有不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤健＿@兩問出的非常巧妙，非常涉及解析幾何本質(zhì)的內(nèi)容，一個證明點在橢圓上的問題，還有一個疑問既然出現(xiàn)四點共圓，這都是平時很少涉及內(nèi)容。從側(cè)面體現(xiàn)教育深層次的問題，讓學(xué)生掌握解析幾何的本質(zhì)，而不是把套路解決。其實幾年前上海考到解析幾何本質(zhì)問題，最后方法用代數(shù)方法研究幾何的問題，什么是四點共圓？首先在同一個圓上，首先找到圓心，四個點找圓形不好找，最簡單的兩個點怎么找？這是平時的知識，怎么找距離相等的點，一定在中垂線，兩個中垂線交點必然是圓心，找到圓心再距離四個點距離相等，這就是簡單的計算問題.方法確定以后計算量其實比往年少.