Question

設t＞0，已知函數f （x）=x²（x-t）的圖象與x軸交于A、B兩點．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）設函數y=f（x）在點P（x₀，y₀）處的切線的斜率為k，當x₀∈（0，1]時，k≥-

1

2

恒成立，求t的最大值；
（3）有一條平行于x軸的直線l恰好與函數y=f（x）的圖象有兩個不同的交點C，D，若四邊形ABCD為菱形，求t的值．

Answer 1

分析：（1）由導數大于0可求單調遞增區(qū)間，導數小于0可求單調遞減區(qū)間；
（2）當x₀∈（0，1]時，k≥-

1

2

恒成立，轉化為即t≤

3x02+ 1 2

2x0

，x₀∈（0，1]只需求其最小值；
（3）由題意畫出圖象，用距離相等可求t的值．

解答：解：（1）∵函數f （x）=x²（x-t）=x³-tx²，∴f′（x）=3x²-2tx=x（3x-2t）
令x（3x-2t）＜0，解得0＜x＜

2

3

t，（t＞0）；令x（3x-2t）＞0，解得x＜0，或x＞

2t

3

，
故函數f （x）的單調遞減區(qū)間為（0，

2t

3

）；單調遞增區(qū)間為（-∞，0）和（

2t

3

，+∞）．
（2）由題意及（1）知，k=f′（x₀）=3x₀²-2tx₀，x₀∈（0，1]，k≥-

1

2

恒成立
即當x₀∈（0，1]時，3x₀²-2tx₀≥-

1

2

恒成立，即t≤

3x02+ 1 2

2x0

，x₀∈（0，1]
即函數g（x）=

3x2+ 1 2

2x

，x∈（0，1]只需求出其最小值即可，
g（x）=

3x2+ 1 2

2x

=

3x

2

+

1

4x

≥2

3x 2 1 4x

=

6

2

，當且僅當

3x

2

=

1

4x

，
即x=

6

6

∈（0，1]時，取到等號，故g(x)min=

6

2

可得t≤

6

2

故t的最大值為：

6

2

（3）由以上可知f（x）的圖由f（

2t

3

）=-

4t3

27

即C（

2t

3

，-

4t3

27

）B（t，0）
由于四邊形ABCD為菱形，故|AB|=|BC|即t=

(t- 2t 3 )2+(- 4t3 27 )2

解得t=

3 4 8

2

故t的值為：

3 4 8

2

點評：本題為導數的綜合應用，設計單調區(qū)間的求解，恒成立問題以及由性質畫圖象，屬中檔題．