在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AB＝PA＝aBC(a＞0)．

(Ⅰ)當(dāng)a＝1時(shí)，求證：BD⊥PC；

(Ⅱ)若BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，求此時(shí)二面角A－PD－Q的余弦值．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，底面為正方形，

　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/1398/0020/78f4221a351e098fe8a6761aabfbb4dc/C/Image105.gif" width=65 height=17>，面　　2分

　　又面

　　　　3分

　　(Ⅱ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/1398/0020/78f4221a351e098fe8a6761aabfbb4dc/C/Image110.gif" width=81 height=21>兩兩垂直，分別以它們所在直線為軸、軸、軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，

　　則　　4分

　　設(shè)，則

　　要使，只要

　　所以，即　　6分

　　由此可知時(shí)，存在點(diǎn)使得

　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，

　　邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得

　　由此可知　　8分

　　設(shè)面的法向量

　　則即解得　　10分

　　取平面的法向量

　　則的大小與二面角的大小相等

　　所以

　　因此二面角的余弦值為　　12分


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖．在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底    面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點(diǎn)．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：平面PAC⊥平面PDB；
（3）求三梭錐D一ECB的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在四棱錐P一ABCD中，二面角P一AD一B為60°，∠PDA=45°，∠DAB=90°，∠PAD=90°，∠ADC=135°，
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求PD與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P一CD一B的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．PA=PD=AD=2，點(diǎn)M在線段PC上 PM=
13
PC
（1）證明：PA∥平面MQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD與底面ABCD垂直，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF于點(diǎn)F（Ⅰ）證明PA平面EBD．

（Ⅱ）證明PB平面EFD．

（Ⅲ）求二面角的余弦值；

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