Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）其周期為4，且滿足：①f（x）是偶函數(shù)；②（1，0）是函數(shù)y=f（x）的一個對稱點；且當(dāng)0＜x≤1時，f（x）=log₃x，則方程f（x）+4=0在區(qū)間（-2，10）內(nèi)的所有實根個數(shù)為（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8

Answer 1

【答案】分析：利用函數(shù)的周期性、奇偶性和對稱性，結(jié)合圖象可得方程的根．
解答：解：根據(jù)題意，當(dāng)0＜x≤1時，f（x）=log₃x=-4，可得x=3^-4=，
因為f（x）是偶函數(shù)，所以當(dāng)-1≤x＜0時，f（x）=log₃（-x）=-4，
可得，
∵f（x-1）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于點（-1，0）對稱，
∴當(dāng)-2＜x≤-1時的函值域與當(dāng)-1≤x＜0時函數(shù)值域互為相反數(shù)，f（x）≥0，方程f（x）=-4沒有實根
再根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于點y軸對稱得，當(dāng)-2＜x≤-1時的函值域與當(dāng)1≤x＜2時函數(shù)值域相同，
f（x）≥0，方程f（x）=-4沒有實根，
因此函數(shù)在（-2，2）只有兩個實數(shù)根，
因為函數(shù)的周期為4，因此可得在（2，6）只有兩個實數(shù)根+4，
在（6，10）只有兩個實數(shù)根+8，
因此可得函數(shù)方程f（x）+4=0在區(qū)間（-2，10）內(nèi)的所有實根個數(shù)為6個．
故選C．
點評：本題主要考查函數(shù)的周期性、奇偶性以及對稱性的綜合應(yīng)用，綜合性比較強．