Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，數(shù)列{a_n+S_n}是公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）證明數(shù)列{a_n-2}為等比數(shù)列；
（Ⅲ）求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由數(shù)列{a_n+S_n}是公差為2的等差數(shù)列，可得a_n+s_n=2n，代入求a₂，a₃
（Ⅱ）利用遞推公式a_n=代換s_n，證明為一非零常數(shù)
（Ⅲ）用錯位相減求數(shù)列的前n項和
解答：（Ⅰ）解：∵數(shù)列{a_n+S_n}是公差為2的等差數(shù)列，
∴（a_n+1+S_n+1）-（a_n+S_n）=2，即，（3分）
∵a₁=1，∴；（5分）
（Ⅱ）證明：由題意，得a₁-2=-1，∵，
∴{a_n-2}是首項為-1，公比為的等比數(shù)列；（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，∴，（10分）
∴，
∴，
設①
∴，②
由①-②，得，
∴，∴，
∴．（14分）
點評：本題綜合考查了利用遞推公式求通項、采用構造證明等比數(shù)列及運用錯位相減求數(shù)列的和．熟練掌握公式，靈活轉化是解題的關鍵，還要具備綜合論證推理的能力．