Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

，若關(guān)于x的不等式f（x）≥m²-

3

4

m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：關(guān)于x的不等式f（x）≥m²-

3

4

m有解，即為f（x）_max≥m²-

3

4

m，通過對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，求得f（x）的最大值，再由二次不等式的解法，即可得到范圍．

解答： 解：關(guān)于x的不等式f（x）≥m²-

3

4

m有解，
即為f（x）_max≥m²-

3

4

m，
由函數(shù)f（x）=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

，
則x＞1時，f（x）遞減，即有f（x）＜0；
當(dāng)x≤1時，y=-x²+x的對稱軸x=

1

2

，
則有f（x）≤f（

1

2

）=

1

2

-

1

4

=

1

4

，
則f（x）在R上的最大值為

1

4

．
則

1

4

≥m²-

3

4

m，
解得，-

1

4

≤m≤1．
故答案為：[-

1

4

，1]

點(diǎn)評：本題考查不等式的成立有解問題，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，及二次不等式的解法，屬于中檔題和易錯題．