Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n=n²+n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}中，前n項(xiàng)的和為S_n^′，且a₁b₁=1，a₄•（1-S₃^′）=1，求S_n^′的表達(dá)式；
（3）求數(shù)列{a_nS_n^′}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析：本題（1）考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法∵S_n=n²+n，a_n=S_n-S_n-1 容易求得；
（2）考查等比數(shù)列的求和公式，考查了方程思想與分類討論的思想，容易求得b1=

1

8

，q=

1

2

，從而可求正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和s_n^′；
（3）考查分組求和與錯(cuò)位相減法求和．′得到Tn=2(1+2+3+…+n)-(1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

)之后，前者按等差數(shù)列求和，后者錯(cuò)位相減法求和．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，…1′
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，也適合n=1時(shí)．=s_n-s_n-1
∴a_n=2n．…4′
（2）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q．
則有b1=

1

2

，1-

1 2 (1-q3)

1-q

=

1

8

，
化簡(jiǎn)：4q²+4q-3=0，即（2q-1）（2q+3）=0．
∵q＞0，∴得q=

1

2

．∴

S

/ n

=1-

1

2n

．…7′
（3）∵an

S

/ n

=2n(1-

1

2n

)=2n-

n

2n-1

…8′
∴Tn=2(1+2+3+…+n)-(1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

)…9′
設(shè)s=1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

由錯(cuò)位相減法得：s=4-

n+2

2n-1

…11′
故Tn=n(n+1)-4+

n+2

2n-1

．…12′

點(diǎn)評(píng)：這道題重點(diǎn)考查考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，分組求和與錯(cuò)位相減法求和，綜合性較強(qiáng)，學(xué)生容易出錯(cuò)．