Question

在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之間的直角距離為L(zhǎng)（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，點(diǎn)A（x，1），B（1，2），C（5，2）
（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專(zhuān)題：新定義,不等式的解法及應(yīng)用,推理和證明

分析：（1）根據(jù)定義寫(xiě)出L（A，B），L（A，C）的表達(dá)式，最后通過(guò)解不等式求出x的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立即當(dāng)x∈R時(shí)，不等式|x-1|≤|x-5|+t恒成立，
運(yùn)用分離變量，即有t≥|x-1|-|x-5|恒成立，可用去絕對(duì)值的方法或絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，求得右邊的最大值為4，令t不小于4即可．

解答： 解：（1）由定義得|x-1|+1＞|x-5|+1，
即|x-1|＞|x-5|，兩邊平方得8x＞24，
解得x＞3，
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式|x-1|≤|x-5|+t恒成立，
也就是t≥|x-1|-|x-5|恒成立，
法一：令函數(shù)f（x）=|x-1|-|x-5|=

-4  x≤1 2x-6  1＜x≤5 4              x＞5

，
所以f（x）_max=4，
要使原不等式恒成立只要t≥4即可，
故t_min=4．
法二：運(yùn)用絕對(duì)值不等式性質(zhì)．
 因?yàn)閨x-1|-|x-5|≤|（x-1）-（x-5）|=4，所以t≥4，t_min=4．
故t的最小值為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義：直角距離的理解和運(yùn)用，考查絕對(duì)值不等式的解法，以及不等式恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，屬于中檔題．