已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的上頂點為A（0，1），過C1的焦點且垂直長軸的弦長軸的弦長為1．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)圓O：x2+y2=
4
5
，過該圓上任意一點作圓的切線l，試證明l和橢圓C1恒有兩個交點A，B，且有
OA
•
OB
=0；
（3）在（2）的條件下求弦AB長度的取值范圍．
依題意有
b=1
2b2
a
=1
?
a=2
b=1
．
（1）C1：
x2
4
+y2=1．

（2）由
x2
4
+y2=1，且半徑r=
2
5
5
＜1，所以圓O必在橢圓內(nèi)部，
所以過該圓上任意一點作切線必與橢圓恒有兩個交點．
設(shè)切點坐標(biāo)為（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
則切線方程為x0x+y0y=
4
5
（1），
又由（1）知C1：
x2
4
+y2=1（2）
聯(lián)立（1）（2）得：(
y20
+4
x20
)
x2 
-
32
5
x0x-4
y20
+
64
25
=0，x1x2=
64
25
-4
y20
y20
+4
x20
，x1+x2=
32
5
x20
y20
+4
x20
，
又y1=
4
5
-x0
x 1
y0
，y2=
4
5
-x0
x 2
y0
，y1y2=
16
25
-4
x20
y20
+4
x20
，
所以，欲證
OA
•
OB
=0，即證：x1x2+y1y2=0，
因為：x1x2+y1y2=
64
25
-4
y20
y20
+4
x20
+
16
25
-4
x20
y20
+4
x20
=
80
25
-4(
x20
+
y20
)
y20
+4
x20
=
80
25
-4×
4
5
y20
+4
x20
=0
所以，
OA
•
OB
=0命題成立．

（3）設(shè)∠A=θ，則∠B=90°-θ，OD=r=
2
5
5
，BD=
OD
tan(900-θ)
，AD=
OD
tanθ
，
則AB=
OD
tan(900-θ)
+
OD
tanθ
=OD•(tanθ+
1
tanθ
)=
2
5
5
，
所以O(shè)A∈[1，2]，OD=
2
5
5
，所以sinθ=
OD
OA
∈[
5
5
，
2
5
5
]，又θ為銳角，
所以tanθ∈[
1
2
，2]，則有tanθ+
1
tanθ
∈[2，
5
2
]，所以AB∈[
4
5
5
，
5
]．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，其中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點A，C在橢圓C1上，對角線BD所在的直線的斜率為1．
①當(dāng)直線BD過點（0，
1
7
）時，求直線AC的方程；
②當(dāng)∠ABC=60°時，求菱形ABCD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一條準(zhǔn)線方程是x=
25
4
，其左、右頂點分別是A、B；雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率；
（2）在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點P，連接AP交橢圓C1于點M，連接PB并延長交橢圓C1于點N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2
2
與以原點為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程．
（Ⅱ）設(shè)橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則b2=
0.5
0.5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為A，離心率e=
1
2

（1）設(shè)拋物線C2：y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于F1，求橢圓的方程；
（2）設(shè)已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點為頂點，頂點為焦點，b是雙曲線C3在第一象限上任意-點，問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案