Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax³-3x²．
（Ⅰ）若x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0處取得最大值，求a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
因?yàn)閤=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，所以f'（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=1時(shí)，x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．
（Ⅱ）由題設(shè)，g（x）=ax³-3x²+3ax²-6x=ax²（x+3）-3x（x+2）．
當(dāng)g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為g（0）時(shí)，g（0）≥g（2），
即0≥20a-24．
故得a≤

6

5

．
反之，當(dāng)a≤

6

5

時(shí)，對(duì)任意x∈[0，2]，g(x)≤

6

5

x2(x+3)-3x(x+2)=

3x

5

(2x2+x-10)=

3x

5

(2x+5)(x-2)≤0，
而g（0）=0，故g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為g（0）．
綜上，a的取值范圍為(-∞，

6

5

]．