Question

已知函數(shù)f（x）=x²+lnx-ax．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，求a得取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的結(jié)論下，設(shè)g（x）=x²+|x-a|，（1≤x≤3），求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求單調(diào)增區(qū)間，先求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0即可．（Ⅱ）已知f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，即f′（x）≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，然后用分離參數(shù)求最值即可．
（Ⅲ）去絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上求最值問題，對(duì)對(duì)稱軸討論．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x²+lnx-3x；
∴
由f′（x）＞0得，；
故所求f（x）的單調(diào)增區(qū)間為
（Ⅱ）．
∵f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴在（0，1）上恒成立，即恒成立．
∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．
所以．
當(dāng)時(shí)，易知f（x）在（0，1）上也是增函數(shù)，
所以．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
當(dāng)a≤1時(shí)，g（x）=x²+x-a在區(qū)間[1，3]上是增函數(shù)
所以g（x）的最小值為g（1）=2-a．
當(dāng)時(shí)，
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在區(qū)間[a，3]上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，a]上也是增函數(shù)，
所以g（x）在[1，3]上為增函數(shù)，
所以g（x）的最小值為g（1）=a．
所以，當(dāng)a≤1時(shí)，g（x）的最小值為2-a；
當(dāng)時(shí)，g（x）的最小值為a．
點(diǎn)評(píng)：此題是難題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的思想方法，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力．