Question

（2x+4）²⁰¹⁰=a+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₀x²⁰¹⁰，則a+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀被3除的余數(shù)是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．不能確定

Answer 1

【答案】分析：分別給二項式中的x賦值1，-1，兩式相加求出a+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀，將2²⁰⁰⁹寫成（3-1）²⁰⁰⁹，利用二項式定理求出其展開式，由展開式的形式判斷出被3除的余數(shù)．
解答：解：令x=1得6²⁰¹⁰=a+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀
令x=-1得2²⁰¹⁰=a-a₁+a₂-a₃…+a₂₀₁₀
兩式相加得=2²⁰⁰⁹•3²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹
∵2²⁰⁰⁹=（3-1）²⁰⁰⁹=C₂₀₀₉3²⁰⁰⁹+C₂₀₀₉¹3²⁰⁰⁸（-1）+…+C₂₀₀₉²⁰⁰⁸3¹（-1）²⁰⁰⁸+C₂₀₀₉²⁰⁰⁹（-1）²⁰⁰⁹
∴2²⁰⁰⁹被3除的余數(shù)的是2
∴2²⁰⁰⁹•3²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹被3除的余數(shù)是2
即a+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀被3除的余數(shù)是2
故選C
點評：本題考查通過賦值法求展開式的系數(shù)和、利用二項式定理的展開式求余數(shù)問題．