Question

如圖，SA⊥面ABC，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，SB=2

3

，
（1）求SC與平面ABC所成的角；
（2）求SC與平面SAB所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先要求SC與平面ABC所成的角，可以通過線面的垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求∠SCA的大小可以通過解直角三角形知識求解．
（2）要求SC與平面SAB所成的角，可以通過作垂線，轉(zhuǎn)化成求∠CSD的大小，然后通過解直角三角形知識來求解．

解答： 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2．

∵SA⊥面ABC，
∴∠SCA就是SC與平面ABC所成的角．
在Rt△SAC中，AC=1，SA=

SB2-AB2

=2

2

．
∴tan∠SCA=

SA

AC

=2

2

．
∴∠SCA=arctan 2

2

．
即SC與平面ABC所成的角為arctan 2

2

．
（2）作CD⊥AB于D，
∵SA⊥面ABC，
∴SA⊥CD，
∴CD⊥面SAB，
∴∠CSD就是SC與平面SAB所成的角．
在Rt△CDS中，CD=BC•sin 30°=

3

2

，SC=

SA2+AC2

=3，
∴sin∠CSD=

CD

SC

=

3

6

，
∴∠CSD=arcsin 

3

6

，
即SC與平面SAB所成的角為arcsin 

3

6

．
故答案為：
（1）SC與平面ABC所成的角為arctan 2

2

．
（2）SC與平面SAB所成的角為arcsin 

3

6

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：線面垂直的性質(zhì)定理，線面夾角的轉(zhuǎn)化，解直角三角形，三角函數(shù)的定義．