已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d(b≠0)在x=0處取到極值2.
(Ⅰ)分別求c,d的值;
(Ⅱ)試研究曲線y=f(x)的所有切線中與直線y=
1b
x+1
的垂直的條數(shù).
分析:(Ⅰ)由f(x)=x3+bx2+cx+d(b≠0),知f′(x)=3x2+2bx+c,由f(x)=x3+bx2+cx+d(b≠0)在x=0處取到極值2,知
f(0)=d=2
f(0)=c=0
,由此能求出結果.
(Ⅱ)由f(x)=x3+bx2+2,知f′(x)=3x2+2bx,由曲線y=f(x)的所有切線中與直線y=
1
b
x+1
的垂直的切線的斜率k=f′(x)=3x2+2bx=-b,分類討論能夠求出結果.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=x3+bx2+cx+d(b≠0),
∴f′(x)=3x2+2bx+c,
∵f(x)=x3+bx2+cx+d(b≠0)在x=0處取到極值2,
f(0)=d=2
f(0)=c=0

故c=0,d=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x3+bx2+2,
f′(x)=3x2+2bx,
曲線y=f(x)的所有切線中與直線y=
1
b
x+1
的垂直的切線的斜率
k=f′(x)=3x2+2bx=-b,
△=4b2-12b=4b(b-3),
①當b>3或b<0時,曲線y=f(x)的所有切線中與直線y=
1
b
x+1
的垂直的有2條;
②當b=3時,曲線y=f(x)的所有切線中與直線y=
1
b
x+1
的垂直的有1條;
③當0<b<3時,曲線y=f(x)的所有切線中與直線y=
1
b
x+1
的垂直的有0條.
點評:本題考查函數(shù)的極值的性質的應用,考查導數(shù)的幾何性質及其應用,解題時要認真審題,注意分類討論思想的合理運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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