Question

已知函數(shù)y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）要使f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，試求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時，若函數(shù)滿足y_極大值=1，y_極小值=-3，
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的圖象上斜率最小的切線方程．
（Ⅲ）求a取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=-3x²+2ax，要使f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，
則f'（x）≥0在（0，2）上恒成立  …（2分）
∵f'（x）是開口向下的拋物線∴

f′(0)≥0 f′(2)=-12+4a≥0

∴a≥3…（5分）
（Ⅱ）（1）令f′(x)=-3x2+2ax=0，得x1=0，x2=

2

3

a
∵a＜0，∴y_極大值=f（0）=b=1
∴y極小值=f(

2

3

a)=-

8

27

a3+

4

9

a3+1=-3，
∴a=-3
∴f（x）=-x³-3x+1…（9分）
（2）∵當(dāng)x=0，k=f′（x）=-3x²-3取得最大值-3，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象上斜率最大的切線方程為：y-1=-3（x-0），
即y=-3x+1．
（Ⅲ）∵0≤θ≤

π

4

，∴tanθ=-3x²+2ax∈[0，1]
據(jù)題意 0≤-3x²+3ax≤1在（0，1]上恒成立   …（10分）
由 -3x2+2ax≥0，得a≥

3

2

x，a≥

3

2

由-3x2+2ax≤1，得a≤

3

2

x+

1

2x

又

3

2

x+

1

2x

≥

3

(當(dāng)且僅當(dāng)x=

3

3

時取”=”)，∴a≤

3

…（14分）
綜上，a的取值范圍是

3

2

≤a≤

3

…（15分）