(1)求函數(shù)h(x)=x2-g(x)的極小值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象為C1,g(x)的圖象為C2,過點P,Q的直線為l,當直線l為曲線C1和曲線C2的公切線時,求x1與x2滿足的關(guān)系式及x1的取值范圍.
解:(1)∵f(x)=Ex,即y=Exx=lny,?
∴f(x)的反函數(shù)g(x)=lnx,h(x)=x2-lnx(x>0). ?
∵h′(x)=2x-,令h′(x)=0,解得x=±
,?
又∵x>0,∴x=.?
當0<x<時,h′(x)<0,∴h(x)在區(qū)間(0,
)內(nèi)為減函數(shù);?
當x>時,h′(x)>0,∴h(x)在區(qū)間(
,+∞)內(nèi)為增函數(shù); ?
故當x=時,函數(shù)h(x)取得極小值,且極小值為?
h()=(
)2-ln
=
-ln
. ?
(2)∵f′(x)=Ex,g′(x)=,又P(x1,Ex1),Q(x2,lnx2),
∴當直線l為曲線C1與曲線C2的公切線時,它的方程為y-Ex1=Ex1 (x-x1) ①?
或y-lnx2=(x-x2), ②?
由①得,y=Ex1·x+Ex1(1-x1),由②得,y=·x+lnx2-1,
∴= Ex1
x2= E-x1,即x2=E-x1. ?
∴Ex1 (1-x1)=lnx2-1=lnE-x1-1Ex1(1-x1)=-x1-1
Ex1=
.?
又∵Ex1>0,∴>0x1<-1或x1>1.?
當x1>1時, Ex1>E,解>E,可得x1<
,即1<x1<
,?
當x1<-1時, Ex1<,解
<
,可得x1>
,?
即<x1<-1,?
故x1∈(,-1)∪(1,
).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
k | 2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
ex+x-a |
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