Question

（2009•聊城二模）已知函數(shù)f（x）=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），由函數(shù)f（x）在區(qū)間[1+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可；
（2）令f′（x）=0，得x=

1

a

，根據(jù)x=

1

a

在區(qū)間[1，2]外、區(qū)間內(nèi)分情況討論，按照單調(diào)性即可求得其最小值；

解答：解：f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0），
（1）由已知，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立，
又∵當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，

1

x

≤1，
∴a≥1，即a的取值范圍為[1，+∞）；
（2）當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，這時(shí)f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=0；
當(dāng)0＜a≤

1

2

，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，這時(shí)f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

；
當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，令f′（x）=0，得x=

1

a

∈（1，2），
又∵對(duì)于x∈[1，

1

a

）有f′（x）＜0，對(duì)于x∈（

1

a

，2）有f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

，
綜上，f（x）在[1，2]上的最小值為
①當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，f（x）_min=ln2-

1

2a

；
②當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，f（x）_min=ln

1

a

+1-

1

a

；
③當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）_min=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、在閉區(qū)間上的最值及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，函數(shù)恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．